Thread: Mathematische Frage...

Beim Nachdenken über Phasenübergänge
2. Ordnung hat sich mir folgendes
Problem augedrängt:

Erstmal die spezielle Veriante:

Die beiden Kurven y1=x^3 und
y2=-x^3 haben offenbar bei x=0 den
selben Funktionswert y1=y2=0. Außerdem
haben sie auch die selbe Tangentialsteigung
y1'(0)=y2'(0)=0. Nebenbei "kreuzen" sie sich
aber auch in diesem Punkt. Was liegt denn
nun vor, ein Berührungspunkt (das träfe
auf die Gleichheit der ersten Ableitungen zu)
oder ein Schnittpunkt (dazu würde passen, dass
die Kurven ihren Platz 'tauschen'). Oder
eine andere Klasse von Punkt.

Oder allgemeiner:

Ist es möglich, aus Polynomen
beliebigen Grades zwei so auszuwählen,
dass sie sich ein einem Punkt, an dem
keine der beiden Krümmungen 0 ist, treffen,
dort die selbe Steigung haben und nachher
Platz tauschen, sprich, sich kreuzen?

Wäre interessant, ob jemand eine
Idee zu dem Problem hat...

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	Von:	Otenko	15.12.2008 14:30 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Stellen wir uns das Kordinatenkreuz vor und Teilen es in 4 Sektoren:

Wie beim Kreis ist der erste Sektor oben rechts, der zweite oben links, 3: unten links und 4: unten rechts.

Der Graph Y1 geht von Sektor 3 in Sektor 1 - Graph Y2 von Sektor 2 in Sektor 4.

Sie kreuzen sich im Punkt (0|0) und daher bildet dieser Punkt den Schnittpunkt. Es wäre nur dann ein Berührungspunkt, zB bei Y1=X^2 / Y2=-X^2 - da sich die Graphen nur berühren aber keine diagonalen Sektorenwechsel durchführen.

Großes Adventsgewinnspiel

	Von:	Koibito	15.12.2008 14:37 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Ô_o
Ich bin in Mathe sowas von keine Leuchte, von daher kann ich nicht helfen. Aber was mich eher interessiert:
Ist das eine Art Hausaufgaben-Thread, oder fragst du aus interesse?

KAIwai forever!!:D

Akatsuki - Und alles ist Wölkchen!!
XD

	Von:	Studl	15.12.2008 15:23 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Das sie sich offenbar kreuzen
ist noch kein hinreichendes Kriterium
für einen Schnittpunkt, es kann -in
Sonderfällen- auch ein Berührungspunkt
sein, obwohl sie sich kreuzen...

Nein, es ist keine Hausaufgabe, ich
bin nur über eine Aussage eines
Professors gestolpert, der eben
über Phasenübergänge sprach und meinte,
ein PÜ zweiter Ordnung zeichnet sich dadurch
aus, dass sich zwei Kurven im selben Punkt
schneiden und dort auch die selbe Tangente
haben und meinte, das sei ein Schnittpunkt
und ich war anderer Meinung.

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	Von:	amoeba	15.12.2008 16:28 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Zum Allgemeinen: Ähm... haben die beiden im Beispiel nicht die Krümmung null an der Stelle? Da ist doch ein Wendepunkt, oder? Oder meintest du noch anders aussehende? Dann kann ichs mir allerdings erst recht nicht mehr vorstellen.

Und ansonsten - von Chemikern kann man mathematische Korrektheit doch ohnehin nicht erwarten. Das hier ist ja noch ein seltsamer Sonderfall, unser PC-Prof kannte nichtmal den Unterschied zwischen Sattelpunkt, Wendepunkt und Hochpunkt, was zu einigen Verwirrungen geführt hat...^^°

- gollum gollum -

	Von:	Studl	15.12.2008 17:39 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Doch, die beiden haben die Krümmung
Null, daher meine Frage, ob es auch
andere Fälle gibt... ^^

Und unser "Chemiker" ist Physiker
und darüberhinaus höchst abstrakter
Quantenmechaniker, dem ist mathematisch
einiges zuzutrauen, daher glaub ich
nicht, dass er das einfach so dahergesagt
hat, kann mich aber auch nicht ganz
mit der Bezeichnung Schnittpunkt anfreunden...

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	Von:	abgemeldet	15.12.2008 22:12 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Mhm... ich kann mich irren (Mathe ist schon ein wenig her), aber war ein Schnittpunkt nicht so definiert, dass die Tangenten in dem Punkt eben gerade NICHT identisch waren, sondern schräg aufeinander standen?
Während bei einem Berührpunkt die Tangenten in dem Punkt identisch waren.

~~~
Meine Geschichten - freue mich immer über neue Leser ^_^

Lust über Yaoi und Yuri in Detective Conan und Magic Kaitô zu diskutieren?

	Von:	Studl	17.12.2008 11:04 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Ja, diese Definition ist mir auch im Ohr,
aber sollten zwei Kurven bei einem
Berührungspunkt nicht auch 'auf ihren
Plätzen bleiben', also die untere Unten
und die obere Oben?

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	Von:	amoeba	17.12.2008 17:01 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Eigentlich schon... aber naja, ich glaube, das sind Definitionsfragen, um die sich wirklich nur Mathematiker Gedanken machen. Klar, Quantenphysiker sind vermutlich noch etwas exakter als (wenn auch physikalische) Chemiker,aber dennoch hat die Mathematik in den Naturwissenschaften eben die Funktion, Dinge mit ihr zu berechnen (wenn auch genügend komplizierte, ich weiß!) unbd nicht so den Selbstzweck wie für Mathematiker. Da interessiert dann eben mehr, was es bedeutet, als wie es mathematisch genau heißt. Zumindest habe ich diese Erfahrung gemacht... aber ich schweife ab. Zum eigentlichen Thema kann ich nicht mehr viel sagen, nur, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass es mit einer Krümmung ungleich null funktioniert, ich denke, ein Wendepunkt des Graphen muss an der Stelle vorhanden sein. Aber ich kann mich natürlich auch irren... die Vorstellung verknotet eben nur meinen Kopf..;)

- gollum gollum -

	Von:	abgemeldet	21.12.2008 10:29 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Ich studiere Mathematik im siebten Semester.
Die Frage klingt interessant, aber ích denke es ist sehr wohl möglich.

Wir wissen ja daß wir uns aus n+1egebenen Informationen über einen Graphen eine Polynom n-ten Grades bilden können dessen Graph die geforderten Eigenschaften besitzt.

Wir können also für den erstan Graph fordern:

g(0)=0 (g geht durch 0,0)
g'(0)= 1 (g hat steigung 1 in 0)
g''(0)=1 (g hat Krümmung 1 in 0)

Nun benötigen wir einen weiteren Graphen

f(0)=0 (f geht ebenfalls durch 0,0)
f'(0)=1 (f hat ebenfalls steigung 1)
f''(0)<>0 Die Krümmung von f ist zuminest ungleich 0

Wir finden für g auf jeden fall ein Polynom zweiten Grades, daß genau die geforderten Egenschaften hat.
Für f finden wir sogar eine Schar von Polynomen zweiten Grades.

Die essentielle Frage ist nun ob in einer Umgebung um 0,0 dei Funtionen auseinanderklaffen, so daß sie sich Kreuzen.

Dazu muss man sich die Krümmungsänderung, also die dritte Ableitung ansehen.

Wenn wir fordern, daß
g'''(0)=1 und
f'''(0)=-1
so benötigt man für f und g natürlich Polynome von mindestens Grad 3.
für diese ist die Dritte ableitung konstant, also in diesem Fall folgt stets f'''(x)=-g'''(x). Insbesondere gillt dies in der Umgebung von 0 und somit ändert sich die Krümmung der Funktionen in unterschiedliche Richtungen was zu einer Kreuzung in dem Punkt 0/0 führt.

Löst man also die beiden entstehenden Gleichungssysteme für die genannten Eigenschaften erhält man zwei Polynome 3 ten Grades die die geforderten Eigenschaften besitzen sollten.

Eine weitere Interessante frage ist,ob es Polynome von geringerem Grad gibt die dieses Ebenfalls erfüllen.Die Antwort ist nein.

Wir benötigen bei der Krümmungsänderung zumindest einen Unterschied da sonst ein Kreuzen der Graphen unter den Vorraussetzungen f(0)=g(0), f'(0)=g'(0) und f''(0)=g''(0)
Wären f und g von Grad 2 oder weniger würde folgen f'''(0)=0 und g'''(0)=0. Und die Graphen wären bereits genügend definiert, also Identisch.

Zur Zusammenfassung:
Ja es gibt solche Paare von Polynomen. Wichtig ist daß sie sich in der Krümmungsänderung Unterscheiden.
Von solchen Polynomen muss MIND. eines Grad 3 oder höher haben.

Insbesondere ist dein Spezialfall f(x)=x^3 und g(x)=-x^3 ein solcher Fall. f(0)=0, g(0)=0, f'(0)=0, g'(0)=0, f''(0)=0,g''(0)=0 aber f'''(0)=6 und g'''(0)=-6. Für x>0 ist also f''(x)>0 und g''(x)<0, für x<0 genau umgekehrt. Damit Klaffen die Funktionen bereits wie gewünscht kreuzungsartig auseinander.

ich hoffe das hat geholfen.

Zuletzt geändert: 21.12.2008 10:41:08

	Von:	Studl	21.12.2008 10:42 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Danke für diese umfassende
Antwort... ^^

Genau sowas wollte ich hören!

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	Von:	abgemeldet	21.12.2008 10:44 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

Gern geschehen.
ich freue mich über jeden sinnvollenund Niveauvollen Thread hier.
Deine Aufgabe ist sehr nett, ich werd sie mir evtl für meine Schüler merken. ^_-

	Von:	KarenChan	06.01.2009 15:08 Direktlink zum Posting
	Betreff:	Mathematische Frage... [Antworten]

edit: hat sich erledigt ^^

かれん
I kissed him with passion that could have possibly set the forest on fire. I wouldn´t have noticed.

Zuletzt geändert: 07.01.2009 18:45:19

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